Thứ Sáu, 7 tháng 12, 2012

Đề Đề Thi HS Giỏi Câp Quận Môn Tin Học năm 2010,2012





ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN
MÔN: TIN HỌC NĂM HỌC 2010 -2011
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề gồm 5 câu, 2 trang. Thí sinh sử dụng  ngôn ngữ lập trình Pascal để giải các bài toán sau:

Bài 1(3 điểm): PHÉP CHIA HẾT
Yêu cầu người sử dụng nhập vào 2 số tự nhiên m, n và in ra các số tự nhiên
từ 1 đến n mà chia hết cho m. Nếu không có số nào thì xuất ra câu “không có số nào
Input: n, m.
Output: các số tự nhiên nhỏ hơn n chia hết cho m
Ví dụ:
Input
Output
3 10
3 6 9
5 20
5 10 15 20
7 5
Không có số nào
 Bài 2 (3 điểm): ĐẾM TỪ
Viết chương trình nhập vào một chuỗi S gồm các chữ cái (a..z, A..Z) và dấu cách. Xuất ra số từ trong chuỗi đã được nhập vào (mỗi từ được cách nhau ít nhất bởi một dấu cách).
Input: chuỗi S.
Output: số từ.
Ví dụ:
Input
Output
Tin hoc la      chia khoa cho tuong lai
8
 Bài 3 (5 điểm): PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT.
Viết chương trình yêu cầu người sử dụng nhập 2 số a, b và xuất ra nghiệm của phương trình: ax + b = 0
Input: a, b
Output: nghiệm của phương trình ax + b = 0.
Ví dụ:
Input
Output
5 10
-2
0 5
Vô nghiệm
0 0
Nghiệm tuỳ ý (vô số nghiệm)
Bài 4 (4 điểm):  LƯỠI CƯA
Một dãy số được coi là một dãy lưỡi cưa khi dãy đó có ít nhất 1 số và được đan xen giữa số âm và số dương (một số âm đến một số dương đến một số âm…, hoặc một số dương đến một số âm đến một số dương…).
Yêu cầu:
Viết chương trình yêu cầu người sử dụng nhập vào n số nguyên (n được nhập vào từ bàn phím) và kiểm tra xem các số được nhập vào (theo thứ tự) có phải là dãy lưỡi cưa hay không?
Input: n số nguyên.
Output: là dãy lưỡi cưa / không là dãy lưỡi cưa
Ví dụ:
Input
Output
5 -4 10 -6 8 -3
Là dãy lưỡi cưa.
-1 8 -6 10 -20 1 -2
Là dãy lưỡi cưa.
8 -5 -3 7 -6 8
KHÔNG là dãy lưỡi cưa.
Bài 5 (5 điểm): TAM GIÁC
Viết chương trình nhập vào 3 số a, b, c và kiểm tra xem 3 số đó có phải là độ dài của 3 cạnh của một tam giác hay không? Nếu là độ dài 3 cạnh của một tam giác hãy cho biết tam giác đó là tam giác gì (tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông hay tam giác thường).
Input: 3 số a, b, c.
Output: là 3 cạnh tam giác (cân/đều/vuông/thường) / không 3 cạnh là tam giác.
Ví dụ:
Input
Output
2 3 6
Không là 3 cạnh tam giác.
3 3 5
Là 3 cạnh tam giác cân.
4 4 4
Là 3 cạnh tam giác đều.
3 4 5
Là 3 cạnh tam giác vuông.
3 4 6
Là 3 cạnh tam giác thường.
 Thí sinh lưu bài làm với tên: bai1.pas, bai2.pas, bai3.pas, bai4.pas, bai5.pas .
KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC : 2011 – 2012
MÔN: TIN HỌC
THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 PHÚT (không kể thời gian phát đề)
-          Đề gồm 2 trang, 5 câu.         
 -          Học sinh tạo thư mục là số báo danh của mình (gồm cả phần chữ lẫn phần số), viết chương trình thực hiện các yêu cầu sau và lưu vào thư mục trên. Tên tập tin các câu lần lượt là: Cau1.pas, Cau2.pas, Cau3.pas, Cau4.pas, Cau5.pas.
 Câu 1: (4 điểm)
            Viết chương trình nhập vào 3 số nguyên a,b,c và xuất ra màn hình kết quả nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0.
input: a,b,c
output: nghiệm của phương trình.
 Câu 2: (4 điểm)
            Viết chương trình nhập vào 4 số nguyên a,b,c,d và tính , xuất ra màn hình, kết quả được ghi ở dạng phân số tối giản (ghi dưới dạng hỗn số nếu được).
input: a,b,c,d.
output: tổng của 2 phân số.
Ví dụ 1:

Ví dụ 2:

Ví dụ 3:
input:
a = 2
b = 3
c = 3
d = 4
output:
1 + 5/12

input:
a = 1
b = 5
c = 3
d = 4
output:
19/20

input:
a = 2
b = 3
c = 1
d = 3
output:
1
Câu 3: (3 điểm)
            Viết chương trình nhập vào 6 số nguyên dương a,b,c và x,y,z lần lượt là độ dài 3 cạnh của 2 tam giác ABC và tam giác XYZ. Kiểm tra xem 2 tam giác ABC và XYZ có đồng dạng hay không.
input: a,b,c, x,y,z
                                                                                   output: 2 tam giác đồng dạng / 2 tam giác KHÔNG đồng dạng.
Ví dụ 1:

Ví dụ 2:

Ví dụ 3:
input:
a = 1
b = 2
c = 3
x = 2
y = 4
z = 6
output:
2 tam giác đồng dạng


input:
a = 4
b = 6
c = 8
x = 12
y = 8
z = 16
output:
2 tam giác đồng dạng


input:
a = 4
b = 6
c = 8
x = 12
y = 8
z = 19
output:
2 tam giác đồng KHÔNG dạng
Câu 4: ( 4 điểm)
            Viết chương trình nhập vào một số nguyên dương và kiểm tra xem số đó có đối xứng hay không?
Input: số nguyên X
output: là số đối xưng / là số KHÔNG đối xứng.
Ví dụ:
  1. Input: 12321                  output: là số đối xứng.
  2. Input: 123321                output: là số đối xưng.
  3. Input: 12345                  output: là số KHÔNG đối xứng.

Câu 5: (5 điểm)
            Nhà em có hai anh em (2 người), mẹ đi chợ về mua n món quà , mỗi món có giá trị Vi (đồng). Hãy giúp mẹ chia quà cho hai anh em sao cho giá trị các món quà của mỗi người nhận được lệch nhau ít nhất.
(Lưu ý: N, Vi là các số nguyên dương, 2 N ≤ 100, mỗi người có thể nhận số lượng quà khác nhau, nếu bài toán có nhiều phương án chia chỉ cần xuất một phương án)
input: n và n số lần lượt là V1, V2, …,Vn
output:
Dòng 1: U1, U2, U3,... là các giá trị các món quà người thứ nhất nhận được
Dòng 2: T1, T2, T3,... là các giá trị các món quà người thứ hai nhận được
Ví dụ:
input:
N = 10
Vi = 2 3 5 6 8 9 7 6 8 7
output:
Dòng 1: 2 3 5 6 8 7
Dòng 2: 9 6 8 7

Một số thuật toán hình học

Một số thuật toán hình học
  - Điểm là đối tượng cơ sở trong hình học. Mỗi điểm mà chúng ta xét sau đây được biểu diễn bằng một cặp số nguyên- toạ độ điểm đó trong hệ trục Descart thường dùng.
  - Một đoạn thẳng là một cặp điểm được nối với nhau bởi 1 phần của đường thẳng.
  - Một đa giác là một danh sách các điểm, với hai điểm cạnh nhau được nối bởi một đường thẳng và   điểm đầu nối với điểm cuối tạo thành một hình đóng.
  Thông thường chúng ta dùng một mảng để biểu diễn một đa giác, dù rằng trong một số trường hợp ta có thể dùng danh sách liên kết hay các kiểu khác. Hầu hết trong các chương trình chúng ta dùng kiểu sau đây:
       Type point = record x , y : integer; end;
              line = record p1 , p2 : pointer; end;
       Var polygon : array [0 .. nmax] of point;
  Chú ý rằng các điểm được biểu diễn trên toạ độ nguyên, cũng có thể dùng số thực nhưng dùng tọa độ nguyên thì thuật toán sẽ đơn giản hơn nhiều và phép tính thực hiện nhanh hơn đáng kể.
  Nhiều đối tượng hình học phức tạp sẽ được biểu diễn dựa trên các phần tử cơ sở này.
 1/Giao các đoạn thẳng:
  Trong bài học sơ cấp đầu tiên, chúng ta sẽ xét xem 2 đoạn thẳng có giao nhau hay không. Một phương pháp dễ hiểu để giải quyết bài toán này là tìm giao điểm của các đường thẳng xác định bởi các đoạn thẳng đó rồi kiểm tra xem nó có nằm giữa hai điểm đầu của hai đoạn thẳng đó hay không. Một cách dễ dàng khác là xem thử xem đường đi từ điểm thứ nhất sang điểm thứ 2 rồi sang điểm thứ 3 theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ:
   Function ccw ( p0 , p1 , p2 : pointer ) : integer;
   Var dx1 , dx2 , dy1 , dy2 : integer;
     Begin
       dx1:=p1.x;     dy1:=p1.y-p0.y;
       dx2:=p2.x;     dy2:=p2.y-p0.y;
       If dx1*dy2>dy1*dx2 then ccw:=1;
       If dx1*dy2<dy1*dx2 then ccw:=1;
       If dx1*dy2=dy1*dx2 then
         Begin
           If (dx1*dx2<0) or (dy1*dy2<0) then ccw:=-1 else
           If (dx1*dx1+dy1*dy1) >= (dx2*dx2+dy2*dy2) then
             ccw := 0 else ccw := 1;
         End;
     End;
  Để hiểu được chương trình hoạt động như thế nào, đầu tiên ta giả sử tất cả các giá trị dx1 , dx2 , dy1 , dy2 đều dương. Sau đó nhận xét rằng độ dốc của đường nối p0 với p1 là dy1 / dx1, của đường nối p0 với p2 là dy2 / dx2. Do đó, nếu độ dốc của đường thứ hai lớn hơn đường thứ nhất thì đường đi từ p0 sang p1 , p2  là ngược chiều kim đồng hồ và ngược lại. So sánh độ dốc hơi bất tiện vì đường có th theo phương thẳng đứng ( dx1 hay dx2 = 0 ), chúng ta tính tích dx1 * dx2 để tránh trường hợp này. Do đó độ dốc không cần phải dương mới đúng. Hàm ccw trả lại giá trị 0 cho trường hợp p2 ở giữa p0 và p1, bằng -1 nếu p0 ở giữa p2 và p1 và nếu p1 ở giữa p0 và p2 thì chúng ta gán ccw = 1.
  Chúng ta có thể dùng trực tiếp ccw để cài đặt hàm intersect ( xét giao nhau ). Nếu cả hai đầu của một đoạn thẳng ở hai bên đoạn kia, nghĩa là có giá trị ccw khác nhau thì chúng giao nhau:
   Function intersect ( l1 , l2 : line ) : boolean;
     Begin
       intersect:=(( ccw(l1.p1,l1.p2,l2.p1)
                         * ccw(l1.p1,l1.p2,l2 .p2)) <= 0)
               and (( ccw(l1.p1,l1.p2,l2 .p1)
                         * ccw(l1.p1,l1.p2,l2 .p2)) <= 0);
     End;
  Giải pháp này có vẽ đã dùng một số lượng lớn tính toán để giải quyết một bài toán đơn giản. Người đọc hãy mạnh dạn thử tìm một phương pháp đơn giảm hơn nhưng chú ý phải đầy đủ các trường hợp.
2/ Đường khép kín đơn:
  Để thấy được đặc điểm riêng của bài toán ứng với tập hợp các điểm, chúng ta xét bài toán tìm một đường đi, qua một tập hợp n điểm xác định, qua tất cả các điểm, không giao nhau và cuối cùng trở về điểm bắt đầu. Đường đi như trên gọi là đường khép kín đơn.
  Để giái quyết bài toán này ta phải chọn một điểm làm "điểm gốc". Sau đó tính góc tạo bằng cách vẽ một đờng từ mỗi điểm trong tập hợp đến gốc vẽ ra theo phương ngang. Sau đó, sắp thứ tự các điểm theo thứ tự tăng dần của góc tương ứng, cuối cùng nối các điểm cạnh nhau lại.
  Gọi dx , dy là khoảng cách từ điểm gốc đến một điểm khác theo trục hoành và tung thì góc cần tính trong giải thuật này là cotan dy / dx. Nhưng hàm này có vẽ chậm, vì vậy ta có thể thay bằng một hàm khác tương tự nhưng dễ tính hơn, đó là dy / ( dy + dx ). Chương trình sau trả lại giá trị từ 0 đến 360, không phải là góc tạo bởi p1 và p2 so với phương ngang nhưng có cùng thuộc tính như góc đó.
   Function theta ( p1 , p2 : pointer ) : real;
   Var dx , dy , ax , ay : integer;
     Begin
       dx:=p2.x - p1.x;         ax:= abs(dx);
       dy:=p2.y - p1.y;         ay:= abs(dy);
       If (dx=0) and (dy=0) then t:=0 else
                        t:=dy/(ax+ay);
       If dx < 0 then t:=2-t else
            If dy < 0 then t:=4+t;
       theta := t*90;
     End;
3/ Điểm nằm trong đa giác:
  Tiếp theo, chúng ta sẽ xét một bài toán rất tự nhiên: cho một điểm và một đa giác biểu diễn bằng một mảng các điểm, xác định xem điểm này nằm trong hay ngoài đa giác. Một giải pháp dễ hiểu để giải bài toán này là vẽ một đưọan thẳng dài bắt đầu từ điểm đó theo một hướng bất kỳ và đếm số lượng đoạn thẳng tạo được do nó cắt qua đa giác. Nếu là số lẽ, điểm đó nằm trong đa giác và ngược lại. điều này dễ thấy nếu chúng ta theo dõi những gì xãy ra khi đi từ một điểm nằm ngoài đa giác.
  Tuy nhiên, không phải chỉ như thế, bởi vì một số giao điểm có thể trùng với đa giác, hoặc đoạn thẳng dùng để kiểm tra trùng với một cạnh của đa giác.
  Nhu cầu xử lý các tình huống khi các đỉnh cảu đa giác rơi trên đoạn thẳng kiểm tra buộc chúng ta phải làm nhiều hơn là chỉ đếm số giao điểm của các cạnh đa giác với đoạn thẳng kiểm tra. Thực chất, chúng ta muốn đi vòng quanh đa giác, tăng một biến đếm khi nào ta di từ một bên của đoạn thẳng kiểm tra sang một bên khác. Một cách để thực hiện là đơn giản bỏ qua các điểm rơi trên đoạn thẳng kiểm tra, như trong chương trình sau đây:
   Function inside (t:point):boolean;
   Var count,i,j:integer;
       lt,lp:line;
     Begin
       count:=0;    j:=0;    p[0]:=p[N];   p[N+1]:=p[1];
       lt.p1:=t;       lt.p2:=t;        lt.p2.x:=maxint;
       For i:=1 to N do
         Begin
           lp.p1 := p [i];       lp.p2 := p [i];
           If not intersect (lp,lt) then
             Begin
               lp . p2 := p [j];  j := i;
               If intersect (lp,lt) then count := count + 1;
             End;
         End;
       inside := ((count mod 2) = 1);
     End;
  Chương trình này dùng đường thẳng kiểm tra theo phương ngang để dễ tính toán. Biến j được dùng để lưu trữ chỉ số của điểm cuối cùng của đa giác mà không nằm trên đoạn kiển tra. Chương trình giả sử rằng p [ 1 ] là điểm có tọa độ x nhỏ nhất trong số tất cả các điểm có tọa độ y nhỏ nhất, vì vậy nếu p [ 1 ] nằm trên đoạn kiểm tra thì p [ 0 ] không thể. Cùng một đa giác có thể biểu diễn bằng N mảng khác nhau, nhưng điều này cho thấy áp dụng một quy luật chuẩn cho  p [ 1 ] đôi khi lại tiện lợi. Nếu điểm kết tiếp trên đa giác mà không nằm trên đoạn kiểm tra, ở cùng một phía như điểm thứ j đối với đoạn kiểm tra thì chúng ta không cần phải tăng biến đếm giao điểm ( count ). Ngược lại, chúng ta có được một giao điểm.
  Nếu đa giác chỉ có 3 hay 4 cạnh, thường gặp trong nhiều ứng dụng thì một chương trình phức tạp như vậy sẽ không được sử dụng, một thủ tục đơn giản đặt cơ sở trên việc gọi ccw sẽ thích hợp hơn. Một trường hợp đặc biệt quan trọng khác lá đối với đa giác lồi, được xét trong chương kế, nó có đặc điểm là không có đoạn kiểm tra nào có hơn 2 giao điểm với đa giác. Trong trường hợp này, một thủ tục như tìm nhị phân có thể dùng để xác định trong O ( log N ) bước để biết được điểm có ở bên trong hay không.
III. Cặp ghộp:
  1. Giới thiệu chung:
  Xét hai tạp hữu hạn X, Y gồm n phần tử:
    X= { x1, x2, ... xn }
    Y= { y1, y2, ... yn }
  Cặp phần tử (x, y) với x thuộc X, y thuộc Y được gọi là một cặp ghp. Hai cặp ghp (x , y) và (x1, y1) được gọi là rời nhau nếu x # x1 và y # y1. Tập M gồm các cặp ghép rời nhau được gọi là một tập cặp ghép.
  Thông thường bài toán xây dựng các cặp ghép được tiếp cận theo 2 hướng: Hoặc thoả mãn một số điều kiện ghép cặp nào đấy, khi đó người ta quan tâm đến khả năng ghép cặp tối đa, hoặc lượng hoá việc ghép cặp, khi đó người ta quan tâm đến việc tối ưu hoá theo các giá trị đã lượng hoá.
  Vì số tập cặp ghép là hữu hạn, nên có một phương pháp xây dựng tầm cỡ là thử tất cả các khả năng. Tuy nhiên, số khả năng như vậy rất lớn (cỡ n!). Vì thế, người ta quan tâm đến việc tìm kiếm những thuật giải hữu hiệu, dễ cài đặt chương trình và có tính khả thi cao. Bài toán này nhằm giới một số mụ hình ghép cặp như vậy.
  2. Cặp ghép đầy đủ tối ưu
a. Giới thiệu bài toán
  Một cặp ghép, sao cho tất cả các phần tử của X và Y đều được ghép cặp (nghĩa là có đủ n cặp với n là số phần tử của X và Y), được gọi là ghép cặp đầy đủ.
  Rõ ràng mỗi song ánh p: X -> Y xác định một tập ghép cặp đầy đủ, trong đó mỗi cặp ghép được viết dưới dạng (x , p(x)), x thuộc X. Từ đó suy ra có tất cả n! cách xây dựng tập cặp ghép đầy đủ khác nhau.
  Với các tập cặp ghép đầy đủ, một cách tự nhiên, người ta quan tâm đến tập cặp ghép "tốt nhất" theo một nghĩa nào đó đã được lượng hoá. Tập cặp ghép này được gọi là "Tập cặp ghép đầy đủ và tối ưu",

  Bài toán tìm cặp ghép đầy đủ tối ưu có nhiều mô hình ứng dụng thực tế. Một trong những mô hình này người ta quan tâm dến việc ghép cặp sao cho có hiệu qủa nhất.
  Để lượng hoá việc ghép cặp mỗi phần tử x thuộc X với một phần tử y thuộc Y, người ta đưa vào ma trận trọng số Cij (i,j = 1, 2, .., n) với ý nghĩa Cij mô tả hiệu quả của việc ghép xi với ỵ. Bài toán được đặt ra là: Xây dựng một tập cập ghép đầy dủ có tổng hiệu quả lớn nhất.
  Bài toán vừa nêu thường được phát biểu dưới dạng một mô hình thực tế là bài toán phân công dưới đây:

  Bài toán phân công:  Có n người và n công việc. Biết Cij là số tiền làm ra nếu giao công việc j cho người thứ i thực hiện. Hãy tìm cách phân công mỗi người mỗi việc để tổng số tiền làm ra là lớn nhất.

  b. Phương pháp tham lam
Đây là một phương pháp gần đúng, xuất phát từ việc chọn tối ưu trong từng bước vì thế nó không đảm bảo được tính tối ưu toàn cục. Tuy nhiên, nó cho ngay một phương án, gần đúng với phương án tối ưu:
    1. Xuất phát từ bản Cij đóng vai trò bảng hiện hành. Tập cặp ghép được khởi gán bằng rỗng.
    2. Tìm dòng i cột j ra khỏi bảng hiện hành và lặp lại bước thứ 2 cho đến khi bảng rỗng.
    3. Xoá dòng i, cột j ra khỏi bảng hiện hành và lặp lại bước 2 cho đến khi bảng rỗng.

  Thí dụ, xét bảng trọng số với n = 4:
          2 5 1 6
          8 7 6 4
          6 9 3 5
          5 1 2 7
  các cặp ghép được chọn lần lượt là (1 8 9 7)
        (x3, y2), (x2, y1), (x4, y4), (x1, y3).
  Với phương án trên ta có tổng trọng số là 25. Trường hợp này các cách ghép tìm được chưa phải là cặp ghép đầy đủ và tối ưu( xem lại ví dụ này ở dưới).
c. Định lý cơ sở
 Việc xây dựng tập cặp ghép đầy đủ tối ưu dựa vào dấu hiệu nhận biết một tập ghép đầy đủ khi nào là tối ưu. Dĩ nhiên việc thử dấu hiệu này không phải là việc so sánh với tất cả các cặp ghép, mà phải được mang tính khả thi. Để lam điều này người ta xây dựng hàm số F, xác định trên tập của các phần tử Xi thuộc X , Yj thuộc Y , mà ta sẽ gọi là nhãn của các phần tử . Nhãn F được gọi là nhãn chấp nhận được nếu thõa mãn bất đẳng thức F(Xi)+F(Yj)>=Cij với mọi Xi thuộc X , Yj thuộc Y . Tập cặp ghép M và nhãn F được gọi là tương thích với nhau nếu thoã mãn đẳng thức F(Xi)+F(Yj)=Ci với mọi (Xi,Yj)thuộc M , Noi riêng , tập cặp ghép rỗng được xem như tương thích với mọi nhãn .
    Định lý: Tập cặp ghép đầy đủ M* là tối ưu khi tồn tại nhãn F chấp nhận được là tương thích với nó .
   Dựa vào định lý vừa chứng minh , người ta có 2 hướng tiếp cận cặp ghép đầy đủ tối ưu :
     * Một là , xuất phát từ cặp ghép đầy đủ M nào đó , người ta xây dựng một nhãn F tương thích với M . Nếu F chấp nhận được , thì M tối ưu . Trái lại , người ta điều chỉnh M cho đến khi F tương thích là chấp nhận được khi đó M là tội ưu .
     * Hai là , xuất phát từ một nhãn F chấp nhận được và một cặp ghép M bất kỳ tương ứng với F ( có thể rỗng ) , người ta tăng dần số cặp ghép M sao cho vẫn đảm bảo tim được nhãn F tương thích với M chấp nhận được . Quá trình tăng sẽ kết thúc khi M đầy đủ và khi đó M là tối ưu .
   Dưới đây trình bầy một thuật toán tim cặp ghép đầy đủ tội ưu theo hướng thứ hai .
 d. Thuật toán Kuhn-Munkes
   Nội dung chủ yếu của phương pháp là xuất phát từ một tập cặp ghép nào đó chưa đâỳ đủ (co thể lập hợp rỗng ) , ta tăng dần số cặp ghép sao cho khi trở thành đầy đủ , các cặp ghép thu được cũng đồng thời thoã mãn tính tối ưu . Có nhiều hình thức trình bày phương pháp này . Dưới đây là cách trình bầy trên ngôn ngữ đồ thị với các thao tác tìm kiếm . Cách này có nhiều ưu điểm : trực giác , dễ pháp biểu , dể chứng minh và đặc biệt , dể cài đặt chương trình vì việc tìm dường trên đồ thị là một thao tác cơ bản và quen thuộc .
     Giả sử F là một nhãn chấp nhận được và M một tập cặp ghép tương thích với F . Xem các phần tử của X và Y như những đỉnh của đồ thị có hai hướng (một phía X một phía Y ). Các cạnh của đồ thị này được xác định tuỳ thuộc nội dung của nhãn F và tập cặp ghép M như sau :
   - Mỗi cặp phần tử Xi thuộc X , Yj thuộc Y thoã mãn đẳng thức      F(Xi)+F(Yj)=Cij      sẽ xác định một cạnh của đồ thị ,
  - Cạnh này có hướng từ X sang Y nếu cặp (Xi ,Yj) không thuộc M gọi (là cạnh thuận) và ngược lại , có xu hướng từ Y sang X nếu cặp (Xi ,Yj) thuộc M (gọi là cạnh nghịch).
  Đồ thị xây dựng theo quy tắc vừa nêu được gọi là đồ thị cân bằng tương ứng với F , M và được ký hiệu là G(F,M).
  Bước 1:
    Khởi tạo :  Xây dựng được nhãn F chấp nhận được như sau :
              F( xi ) := Max {C[ i , j ] , yj thuộc Y }
              F( yj ) := 0       yj thuộc Y
  M là tập cặp ghép rỗng .
  Chú ý rằng , có thể xuất pháp từ bất kỳ nhãn F nào chấp nhận được và bất ký một tập cặp ghép M nào tương ứng với F.
   Bước 2:
    Tìm đỉnh tự do thuộc X: Tìm đỉnh u thuộc X chưa được ghép cặp. Nếu không còn đỉnh nào của X chưa ghép cặp thì kết thúc, tập cặp ghép M hiện hành là tập cập ghép tối ưu. Trái lại sang bước tiếp theo.
   Bước 3:
    Xuất phát từ u, thực hiện việc tìm kiếm trên đồ thị  G(F, M). Kết quả tìm được có hai trường hợp sau:
  - Nếu đến được một đỉnh z thuộc Y chưa ghép cặp thì ghi nhận đường đi từ u -> z (gọi là đường tăng cặp ghép) và chuyển sang bước tăng cặp ghép trên đường đi này.
  - Nếu không tồn tại một đường đị như vậy thì chuyển sang bước sửa nhãn F.
   Bước 4:
    Tăng cặp ghép: Điều chỉnh M như sau:
    - Giữ nguyên những cặp ghép của M nằm ngoài đường tăng cặp ghép
    - Trên đường tăng cặp ghép, thay đổi những cặp ghép của M (cạnh ngược) băng những cặp ghép cạnh thuật (về mặt đồ thị nghĩa là đổi chiều các cạnh trên đường tăng cặp ghép)
    Sau bước này, số cặp ghép thuộc M được tăng them 1 và đỉnh u trở thành đã ghép cặp, ngoài ra, tính tương thích giữa F và M vẫn được bảo toàn. Sau đó quay lại bước 2 để thực hiện việc sửa nhãn tự do khác.
   Bước 5: Sửa nhãn:
    Gọi S là tập các đỉnh thuộc X và T là tập cặp ghép thuộc Y đã được đi trong quá trình tìm đường đi ở bước 3. Việc sửa nhãn được tiến hành như sau:
       - Tìm lượng sửa nhãn:
    d := Min { F(xi) + F(yj) - C[i,j] , yj thuộc T}
      - Gán lại nhãn:
        F(xi) := F(xi) - d với xi thuộc S
        F(yj) := F(yj) + d với yj thuộc T
    Sau đó, quay trở lại bước 3 để lặp lại tìm đường tăng cặp ghép (với đỉnh xuất phát u cũ và nhãn F mới).
   Chú ý rằng, sau khi thay đổi, nhãn F vẫn giữ nguyên tính chấp nhận được và tính tương thích M. Ngoài ra có thêm ít nhất một cặp (xi, yj) thoả mãn F(xi) + F(yj) = C[i,j], vì thế, sau một số lần đổi sữa nhãn, chắc chắn sẽ tăng được cặp ghép.

  Nhận xét rằng, khi tăng cặp ghép, các đỉnh đã được tiến ghép cặp rồi không bao giờ trở thành tự do, vì thế việc tìm đỉnh tự do có thể được tiến hành tuần tự. Quá trình tìm tập cặp ghép đầy đủ tối ưu có thể được mô phỏng qua doạn chương trinh sau:
   <Khởi tạo nhãn và tập cặp ghép ban đầu>
  FOR <U thuộc X>
    IF <u còn tự do> THEN
      BEGIN
        WHILE NOT <Tìm thấy đường tăng cặp ghép từ u>
          DO <sửa nhãn>
      END;
   e. Ví dụ
    Quay trỏ lại thí dụ trước. Nhãn F chấp nhận ban đầu là:
          F   0 0 0 0

          6   2 5 1 6
          8   8 7 6 4
          9   6 9 3 5
          7   5 1 2 7

  Xuất phát từ cặp ghép M rỗng, lần lượt tăng cặp ghép cho các đỉnh tự do x1, x2, x3, ta nhận được
    M={ (x1, y4), (x2, y1), (x3, y2) } và đồ thị G(F,M) tương ứng:
   Việc tìm đường tăng cặp ghép tương đối với đỉnh tự do x4 không tìm thấy và cho ta các tập S = {x1, x4}, T ={y4). Tiến hành sữa nhãn trên các tập cặp ghép này, ta được d=1 và nhãn F mới là
           F   0 0 0 1

          5   2 5 1 6
          8   8 7 6 4
          9   6 9 3 5
          6   5 1 2 7

  nhãn F này thêm được cẵp1, y2 thoả mãm F(x1) + F(x2) = C[1,2] và ta được đồ thị G(F,M):
   Đường tăng cặp ghép đối với x4 vẫn không tồm tại. Tuy nhiên S và T đã được mở rộng thêm:
     S ={x1, x3, x4} và T = {y2, y4} và lượng nhãn được sủa trên các tập này là d = 1:
           F   0 1 0 2

          4   2 5 1 6
          8   8 7 6 4
          8   6 9 3 5
          5   5 1 2 7

  Lần này F thêm được cặp x4, y1 thoả mãm F(x4) + F(y1) = C[4,1] và được đồ thị G(F,M):
   Việc tìm kiếm vẫn chưa kết thúc và cho S = {x1, x2, x3, x4}, T = {y1, y2, y4}. Lượng nhãn được sửa lần này là 2, và ta nhận được:
           F   2 3 0 4

          2   2 5 1 6
          6   8 7 6 4
          6   6 9 3 5
          3   5 1 2 7

  cùng với đồ thị G(F,M) (thêm cạnh x2, y3):
   Việc tìm kiếm trên đồ thị này kết thúc tại y1 cho ta đường tăng cặp ghép:
       x4 -> y1 -> x2 -> y3
  và trên đường này, cặp ghép cũ (x2, y1) được thay bằng 2 cặp ghép mới (x2, y3) và (x4, y1)
  Kết quả cuối cùng cho tập cặp ghép đầy đủ tối ưu

     M = {(x1, y4), (x2, y1), (x3, y2), (x4, y1)}
     với tổng trọng số là 6 + 6 + 9 + 5 = 26.